费马小定理求逆元

Mon, 22 Sep 2025 00:00:00 +0000

为什么要求逆元

当我计算((a % p) (+/-/* ) (b % p)) % p的时候都可以直接这样使用，但是当我们处理除法的时候，比如((a%p)/(b%p))%p，这个方法就失效了，但在大数运算时，直接除法可能产生精度问题或溢出。

1.当a是p的倍数：
a^p≡a(mod p)
2.当a与p互质，即gcd(a, p) = 1:
a^p−1≡1(mod p)

在模 p 运算中，如果存在整数 x 使得 b × x ≡ 1 (mod p)，则称 x 为 b 的模 p 逆元，记作 b⁻¹。

在模运算中，我们定义除法为：a/b ≡ a × b⁻¹ (mod p)。
因此，(a/b) % p = (a × b⁻¹) % p。

当 p 是质数且 b 与 p 互质时，由费马小定理： b^(p-1) ≡ 1 (mod p)

将上式两边同时乘以 b⁻¹： b^(p-1) × b⁻¹ ≡ 1 × b⁻¹ (mod p) b^(p-2) ≡ b⁻¹ (mod p)

因此，逆元 x = b^(p-2) % p。

要求 (a/b) % p：

求4 % 5 的逆元
x = 4^(5-2) = 4^3 = 64 % 5 = 4
验证： (4*4)%5 = 1, 正确